Petite formule et grand modèle

\mathcal{T}_i^{\nearrow} = i \mathcal{P}_i^{\searrow}

Cette formule est nommée formule de Pelinquin, c’est mon pseudo et aussi le nom de la rue où j’habite, près de Toulouse 🙂

20012013_59

La formule recèle un brin de magie ! Elle est d’une simplicité enfantine et d’une beauté mathématique exemplaire…il est donc très fortement probable qu’elle soit vraie ! (on devrait dire ‘valide‘, mais Internet est maintenant si bien installé qu’on peut le considérer comme intégré à la Nature).

Cette formule cache aussi un équilibre, difficile à trouver, car le revenu total \mathcal{T} est croissant tandis que le prix unitaire \mathcal{P} est décroissant. Comment peut-on maintenir cette égalité ? C’est le petit i, le nombre d’acheteurs qui fait toute la différence. L’ère industrielle en avait décelé le pouvoir en créant des usines pour une production en série, mais là où il persistait un coût marginal, le numérique à tout renversé, le coût marginal est maintenant strictement nul sur Internet.

On devrait écrire cette formule:

 \displaystyle \mathcal{T}_i = \sum_{j=1}^{j=i} (\mathcal{P}_j) - \left(\sum_{j=1}^{j=i} (\mathcal{P}_j) - i \mathcal{P}_i \right)

Le revenu est bien la somme des prix unitaires, mais dans le cas général du Partage Marchand, il faut retrancher le remboursement \displaystyle \sum_{j=1}^{j=i} (\mathcal{P}_j) - i\mathcal{P}_i

Ce micro-remboursement était bien caché dans la formule, mais après accumulation, il peut être aussi important que le prix consenti initialement, offrant gratuitement le bien ou à une valeur de 1⊔ (environ 0.1 € !).

Tous les domaines de la sciences ont leurs formules, plus ou moins complexes. Le commerce était semble t-il oublié… trop simple, trop évident, principe du remboursement impossible ! C’était sans compter avec Internet, cette formidable calculatrice et mémoire électronique partagée entre tous. Peut être que à terme, cette formule sera enseignée au collégiens comme on leurs enseigne actuellement la loi d’Ohm U=RI.

Contrairement à la célèbre formule E=mc^2, dont les applications se font sentir à très grande vitesse ou sur de très grandes distance, difficilement perceptible par l’humain, les applications de la formule de Pelinquin peuvent concerner la vie pratique de chacun, dans sa consommation de biens culturels immatériels.

Et voici la formule représentée géométriquement. On remarque qu’un point sur la courbe décroit tandis que la surface représentée par le rectangle tangent à ce point croit.

On se demande comment cela peut fonctionner !

Ajoutons la contrainte que les prix soient toujours exprimés avec des entiers, en . Pour satisfaire le principe d’équité, tous les acheteurs payent le même prix à 1 près. Donc quand le bien passe dans le domaine public, il y a exactement \mathcal{T}_{\infty} acheteurs payant 1 et tous les suivants ne payent rien (0 ). Toute l’astuce est de répartir entre ceux qui payent x et ceux qui payent (x+1) , de telle façon qu’on ne demande jamais à un acheteur de repayer (1) supplémentaire. L’algorithme avec des entiers conduit à une légère modification du revenu par rapport à la valeur continue. Ce calcul en entiers assure que le revenu atteigne bien la limite, sans la dépasser. Cette concession accordée par les créateurs permet une sortie dans le domaine public (pour le prix, car rien ne change sur le droit moral)

Voici l’algorithme en Python, très proche du pseudo-code:

def function_price(p1, pf, i):
"""p1: prix initial, pf: revenu final, i: numéro d'acheteur
   retourne p: prix courant et k: paramètre de distribution
"""
    if p1*i-pf < 0: return p1-1, 0
    for j in range(p1):
        k = (p1-j)*i-pf
        if k < i: return p1-j-1, k

Il faudra alors prouver que le revenu est toujours croissant. Nous l’avons vérifié expérimentalement, en « force brut », en laissant tourner un serveur pour déceler un éventuel contre-exemple….aucune erreur pour l’instant ! Néanmoins, Il serait préférable d’avoir la preuve mathématique de cette croissance….avis aux plus matheux d’entre vous !

J’ai créé un petit simulateur de prix. Par exemple, un prix initial de 10, un revenu de 1000, la fonction-prix/revenu est : http://pingpongcash.fr/?p=10&f=1000

LF

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